Question

11．已知曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=1，以點(diǎn)0為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1．
（1）設(shè)曲線C′上任意兩兩點(diǎn)A、B．且OA⊥OB，求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值；
（2）若直線l與曲線C′交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，M的直角坐標(biāo)為（0，-2），求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$．

Answer 1

分析 （1）OA⊥OB，不妨設(shè)A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B$（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}），{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））$，由于C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，考點(diǎn)$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ．代入即可證明．
（2）直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}s}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}s}\end{array}\right.$（s為參數(shù)）．由C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，可得直角坐標(biāo)方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．把直線參數(shù)方程代入可得：s²-6$\sqrt{3}$s+9=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{{s}_{1}}+\frac{1}{{s}_{2}}$=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{{s}_{1}{s}_{2}}$．

解答 （1）證明：∵OA⊥OB，不妨設(shè)A（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），B$（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}），{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））$，即（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ）．
∵C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，∴$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{3}$+sin²θ+$\frac{si{n}^{2}θ}{3}$+cos²θ=$\frac{1}{3}+1$=$\frac{4}{3}$為定值．
（2）解：直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}s}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}s}\end{array}\right.$（s為參數(shù)）．
由C′：$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{3}$+ρ²sin²θ=1，可得直角坐標(biāo)方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
把直線參數(shù)方程代入可得：s²-6$\sqrt{3}$s+9=0，
∴s₁+s₂=$6\sqrt{3}$，s₁s₂=9．
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$=$\frac{1}{{s}_{1}}+\frac{1}{{s}_{2}}$=$\frac{{s}_{1}+{s}_{2}}{{s}_{1}{s}_{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{9}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．