Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=2，a_n+1=2S_n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 5•{3^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由題意可得：a₂=2S₁+1=5，n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，則a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，求得a_n+1=3a_n．?dāng)?shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是以5為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得a_n=5•3^n-2，n≥2，當(dāng)n=1時(shí)，不滿足，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：a₁=2，a_n+1=2S_n+1，
a₂=2S₁+1=5，
n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+1，相減可得：a_n+1-a_n=2S_n-2S_n-1=2a_n，
∴a_n+1=3a_n．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是以5為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=5•3^n-2，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)，不滿足，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 5•{3^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$，
故答案為：${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 5•{3^{n-2}}，n≥2\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．