Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，過點(diǎn)（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)且OA⊥OB，O為原點(diǎn)，求半短軸長b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過點(diǎn)（0，2）的直線為y=kx+2，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且OA⊥OB，結(jié)合一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系及向量垂直的充要條件、韋達(dá)定理，求出a，b的關(guān)系式，再由離心率求出a=2b，再代入上面的關(guān)系式，解不等式，即可得到b的取值范圍．

解答： 解：設(shè)過點(diǎn)（0，2）的直線為y=kx+2，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx+2

，消去y，得：（a²k²+b²）x²+4a²kx+a²（4-b²）=0，
由△=（4ka²）²-4（k²a²+b²）[a²（4-b²）]＞0，整理得k²a²+b²＞4．①
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

-4a2k

a2k2+b2

，x₁•x₂=

a2(4-b2)

a2k2+b2

．
∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∵OA⊥OB，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=（k²+1）x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（k²+1）•

a2(4-b2)

a2k2+b2

+2k•

-4a2k

a2k2+b2

+4=0，
即4a²+4b²-（k²+1）a²•b²=0．②
又e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，
即有a=2b，代入②，得，k²=

5

b2

-1，
再代入①，得，b²＜

16

3

，
再由k²≥0，得，b²≤5，
即有0＜b≤

5

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質(zhì)，綜合能力強(qiáng)，運(yùn)算量大，屬于中檔題．