Question

9．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數(shù)，且C過點(diǎn)P（$\sqrt{2}，1$）．
（1）求C的方程；
（2）若C的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求△F₂AB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的離心率，可得橢圓的離心率，再由P滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠$\frac{π}{2}$時，求出△ABF₂的面積，當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，求出△ABF₂的面積，比較得出△ABF₂面積的最大值．

解答 解：（1）雙曲線x²-y²=1的離心率為$\sqrt{2}$，
由離心率互為倒數(shù)，可得橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由C過點(diǎn)P（$\sqrt{2}，1$），可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解方程可得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為θ，當(dāng)θ≠$\frac{π}{2}$時，不妨設(shè)θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴l(xiāng)的方程是y=tanθ（x+$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=tanθ（x+\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∵tanθ≠0，消去x，得$\frac{1+2ta{n}^{2}θ}{ta{n}^{2}θ}$y²-$\frac{2\sqrt{2}}{tanθ}$y-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}tanθ}{1+2ta{n}^{2}θ}$，y₁y₂=-$\frac{2ta{n}^{2}θ}{1+2ta{n}^{2}θ}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=
$\sqrt{\frac{8ta{n}^{2}θ}{（1+2ta{n}^{2}θ）^{2}}+\frac{8ta{n}^{2}θ}{1+2ta{n}^{2}θ}}$=$\frac{4tanθ•\frac{1}{cosθ}}{1+2ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4sinθ}{1+si{n}^{2}θ}$
=$\frac{4}{sinθ+\frac{1}{sinθ}}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ+$\frac{1}{sinθ}$＞2，
∴|y₁-y₂|＜2，
∴${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c|y₁-y₂|＜$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時，|AB|=2•$\frac{^{2}}{a}$=2×$\frac{2}{2}$=2，
∴∴${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|AB|•2c=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2=2$\sqrt{2}$；
綜上，△ABF₂面積的最大值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義，計(jì)算三角形面積的應(yīng)用問題，基本不等式的運(yùn)用問題等知識點(diǎn)，是中檔題．