Question

14．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x-y-2≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域的面積為a，則（$\sqrt{x}$-$\frac{2a}{7x}$）²⁰¹⁵的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是第1007項(xiàng)．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域，由線性規(guī)劃的知識(shí)可得a值，可得二項(xiàng)展開式，由組合數(shù)的知識(shí)可得．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x-y-2≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域（四邊形OABC），
易得OA=OC=1，S_△OAC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$可解得B（3，4），
B到直線AC：x+y-1=0距離d=$\frac{6}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=3，
∴面積a=$\frac{1}{2}$+3=$\frac{7}{2}$，
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{2a}{7x}$）²⁰¹⁵=（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{x}$）²⁰¹⁵，
∴展開式的通項(xiàng)為T_k+1=${C}_{2015}^{k}$（$\sqrt{x}$）^2015-k（-$\frac{1}{x}$）^k=（-1）^k${C}_{2015}^{k}$${x}^{\frac{2015-3k}{2}}$，
∴展開式中系數(shù)為（-1）^k${C}_{2015}^{k}$，當(dāng)k=1007時(shí)，系數(shù)取最小值．
故答案為：1007．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單線性規(guī)劃，涉及二項(xiàng)式定理和作可行域，屬中檔題．