Question

二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件：①f（0）=-1；②對(duì)任x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；③函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=x-1的圖象相切．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)x∈[4，m]（m＞4）時(shí)，f（x-t）≤g（x）恒成立，試求t，m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由①先求出c的值，x滿足f（x-4）=f（2-x）從而a與b的關(guān)系，再利用相切得到另一個(gè)關(guān)系即可求出a，b；
（Ⅱ）把“當(dāng)x∈[4，m]（m＞4）時(shí)，f（x-t）≤g（x）恒成立”這個(gè)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為“不等式f（x-t）≤g（x）的解集為[4，m]（m＞4）”這個(gè)我們比較熟悉的解集問題．根據(jù)函數(shù)滿足的關(guān)系式代入得到a與b的關(guān)系式，對(duì)于不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

解答： 解：（Ⅰ）由①得c=-1，
由②知，-

b

2a

=-1，即b=2a，
所以f（x）=ax²+2ax-1，
由③知：方程ax²+2ax-1=x-1，即ax²+（2a-1）x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴a=

1

2

，故f(x)=

1

2

x2+x-1；
（Ⅱ）∵當(dāng)且僅當(dāng)x∈[4，m]（m＞4）時(shí)，f（x-t）≤g（x）恒成立，
∴不等式

1

2

(x-t)2+x-t-1≤x-1，即x²-2tx+t²-2t≤0的解集為[4，m]，
∴

4+m=2t 4m=t2-2t

，解得t=8，m=12或t=2，m=0，
∵m＞4，∴t=8，m=12符合題意．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，注意用到函數(shù)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．