Question

5．設函數(shù)f（x）=ax-（a+1）lnx-a（a＞0）
（1）求f（x）的單調區(qū)間
（2）當$x=\frac{1}{a}+1$時，證明：$ln（{\frac{1}{a}+1}）＞\frac{1}{1+a}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）當$x=\frac{1}{a}+1$（x＞1），即有a=$\frac{1}{x-1}$，可得ln（1+$\frac{1}{a}$）-$\frac{1}{1+a}$=lnx-$\frac{x-1}{x}$，設g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，（x＞1），求出導數(shù)，判斷單調性，即可得證．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=a-$\frac{a+1}{x}$=$\frac{ax-（a+1）}{x}$，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a+1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{a+1}{a}$）遞減，在（$\frac{a+1}{a}$，+∞）遞增；
（2）證明：當$x=\frac{1}{a}+1$（x＞1），即有a=$\frac{1}{x-1}$，
可得ln（1+$\frac{1}{a}$）-$\frac{1}{1+a}$=lnx-$\frac{x-1}{x}$，
設g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，（x＞1），
導數(shù)g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
可得g（x）在（1，+∞）遞增，
可得g（x）＞g（1）=0，
則lnx＞$\frac{x-1}{x}$，
即有$ln（{\frac{1}{a}+1}）＞\frac{1}{1+a}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間，考查不等式的證明，注意運用構造函數(shù)和判斷單調性，考查推理和運算能力，屬于中檔題．