Question

如圖，在正四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的正方形，側棱PA=

6

，
E為BC的中點，F(xiàn)是側棱PD上的一動點．
（1）證明：AC⊥BF；
（2）當直線PE∥平面ACF時，求三棱錐F-ACD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）得出PO⊥面ABCD，AC⊥PO，AC⊥面PBD，判斷即可AC⊥BF，
（2）得出比例線段

DG

DE

=

DF

DP

，

EC

AD

=

GE

DG

=

1

2

，

DG

DE

=

2

3

，運用體積公式求解即可v_F-ACD=

1

3

S_△ACD•FH

解答： 解：（1）連接BD，設AC∩BD=0，連接PO，

則PO⊥面ABCD，
∴AC⊥PO，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，BD∩OP=O
∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BF，
（2）連接DE交AC于G點，連接FG，
∵PE∥平面ACF，∴PE∥FG
∴

DG

DE

=

DF

DP

，
又CE=

1

2

BC=

1

2

AD，BC∥AD
∴

EC

AD

=

GE

DG

=

1

2

，∴

DG

DE

=

2

3

，
過F作FH⊥DB垂足為H則FH∥OP
∴

FH

OP

=

DF

DP

=

2

3

，
∴FH=

2

3

OP=

4

3

∴v_F-ACD=

1

3

S_△ACD•FH=

1

3

×

1

2

×22×

4

3

=

8

9

．

點評：本題考查了空間幾何體的性質，線面的垂直，體積的求解，屬于中檔題，關鍵是確定幾何題的高，底面積，難度不大．