Question

若數(shù)列{x_n}對任意的n∈N^*，都有x_n-2x_n+1+x_n+2＜0成立，則稱數(shù)列{x_n}為“亞等差數(shù)列”，設(shè)數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S₁+S₂+S₃=

17

4

．
（1）求證：數(shù)列{S_n}是“亞等差數(shù)列”；
（2）設(shè)b_n=（1-na_n）t+n²a_n，若數(shù)列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亞等差數(shù)列”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得1+(1+q)+(1+q+q2)=

17

4

，解得q=-

5

2

（舍）或q=

1

2

，從而S_n=2-

1

2n-1

，由此能證明數(shù)列{S_n}是“亞等差數(shù)列”．
（2）由an=(

1

2

)n-1，得b_n=（1-na_n）t+n²a_n=（1-

n

2n-1

）t+

n2

2n-1

，再由數(shù)列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亞等差數(shù)列”，能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，
且a₁=1，S₁+S₂+S₃=

17

4

，
∴1+(1+q)+(1+q+q2)=

17

4

，
解得q=-

5

2

（舍）或q=

1

2

，
∴S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
∴S_n-2S_n+1+S_n+2=（2-

1

2n-1

）-2×（2-

1

2n

）+（2-

1

2n+1

）
=

1

2n

-

1

2n-1

-

1

2n+1

=

1-2- 1 2

2n

＜0，
∴數(shù)列{S_n}是“亞等差數(shù)列”．
（2）解：由（1）得an=(

1

2

)n-1，
∴b_n=（1-na_n）t+n²a_n=（1-

n

2n-1

）t+

n2

2n-1

，
∵數(shù)列b₃，b₄，b₅…，b_m是“亞等差數(shù)列”，
∴b₃-2b₄+b₅＜0，
即（

1

4

t+

9

4

）-2（

1

2

t+2）+（

11

16

t+

25

16

）＜0，
-

t

16

-

3

16

＜0，解得t＞-3．
又b₄-2b₅+b₆＜0，
即（

1

2

t+2）-2（

11

16

t+

25

16

）+（

13

16

t+

9

8

）＜0，
-

1

16

t＜0，解得t＞0．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查亞等差數(shù)列的證明，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．