Question

14．△ABC中，AD是BC邊上中線，E為AD上一點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，交AB的平行線CG于G．
（1）若AC=8，BG=16，AF=3，求BF的長；
（2）證明：BE²=EF•EG．

Answer 1

分析 （1）證明△ABF∽△CGF，利用AC=8，BG=16，AF=3，即可求BF的長；
（2）過點(diǎn)C作CI∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)I，過點(diǎn)C作CH∥BF交DI于點(diǎn)H．首先證明△ABD≌△ICD，△EBD≌△HCD，從而可證得BE=HC，AH=EI，然后再證明△AEF∽△AHC，從而得到：$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$，然后證明△ABE∽△IGE，可知$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EI}$，從而得到$\frac{EF}{HC}=\frac{BE}{EG}$，根據(jù)BE=HC，可得到$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{EG}$，從而可證得BE²=EF•EG．

解答 （1）解：∵AB∥CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BF}{GF}$，
∵AC=8，BG=16，AF=3，
∴$\frac{3}{5}=\frac{BF}{16-BF}$，
∴BF=6；
（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)C作CI∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)I，過點(diǎn)C作CH∥BF交DI于點(diǎn)H．

∵AB∥CI，
∴∠BAD=∠CID．
在△ABD和△ICD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CID}\\{∠ADB=∠IDC}\\{DB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ICD．
∴AD=DI．
同理：△EBD≌△HCD．
∴ED=HD，BE=HC．
∴AD+DH=DI+ED，即AH=EI．
∵EF∥HC，
∴△AEF∽△AHC．
∴$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$．
∵AB∥GI，
∴△ABE∽△IGE．
∴$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{EI}$．
∴$\frac{EF}{HC}=\frac{BE}{EG}$．
又∵BE=HC，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{BE}{EG}$．
∴BE²=EF•EG．

點(diǎn)評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，利用全等三角形的性質(zhì)證得AH=EI，從而得到$\frac{EF}{GH}=\frac{AE}{AH}=\frac{AE}{EI}$是解題的關(guān)鍵．