Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)．當x≥0時，f（x）=

5 16 x2(0≤x≤2) ( 1 2 )x+1(x＞2)

若關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、(-

  5

  2

  ，-

  9

  4

  )
• B、(-

  9

  4

  ，-1)
• C、(-

  5

  2

  ，-

  9

  4

  )∪(-

  9

  4

  ，-1)
• D、(-

  5

  2

  ，-1)

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：要使關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數(shù)根，轉化為t²+at+b=0必有兩個根t₁、t₂，分類討論求解．

解答： 解：依題意f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，
在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，
當x=±2時，函數(shù)取得極大值

5

4

；
當x=0時，取得極小值0．要使關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個不同實數(shù)根，
設t=f（x），則則有兩種情況符合題意：
（1）t1=

5

4

，且t2∈(1，

5

4

)，
此時-a=t₁+t₂，則a∈(-

5

2

，-

9

4

)；
（2）t₁∈（0，1]，t2∈(1，

5

4

)，
此時同理可得a∈(-

9

4

，-1)，
綜上可得a的范圍是(-

5

2

，-

9

4

)∪(-

9

4

，-1)．
故選答案C．

點評：本題考察了函數(shù)的性質，運用方程與函數(shù)的零點的關系，屬于中檔題．