Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=a²-sinx，函數(shù)g（x）=a+1+cos²x．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[-

π

2

，0]上的最小值是0，求a的值；
（Ⅱ）已知h（x）是定義在（-∞，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，若h[f（x）]＜h[g（x）]對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)y=f（x）-g（x）的表達(dá)式，利用三角換元法求出函數(shù)在[-

π

2

，0]上的最小值建立方程關(guān)系即可求a的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=a²-sinx-a-1-cos²x=a²-sinx-a-1-（1-sin²x）=sin²x-sinx+a²-a-2，
設(shè)t=sinx，
∵x∈[-

π

2

，0]，
∴t∈[-1，0]，
則函數(shù)等價(jià)為y=t²-t+a²-a-2=（t-

1

2

）²+a²-a-

9

4

則此時(shí)當(dāng)t=0有最小值a²-a-2=0，
解得a=2或a=-1；
（Ⅱ）∵h(yuǎn)（x）是定義在（-∞，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)，
∴若h[f（x）]＜h[g（x）]對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
則f（x）＞g（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
即f（x）-g（x）＞0恒成立，
由（Ⅰ）知，即y=m（t）=t²-t+a²-a-2=（t-

1

2

）²+a²-a-

9

4

＞0在t∈[-1，0]恒成立，
即函數(shù)y=m（t）=t²-t+a²-a-2=（t-

1

2

）²+a²-a-

9

4

的最小值為m（0）=a²-a-2＞0恒成立，
解得a＞2或a＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系結(jié)合恒成立的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．