Question

10．某市為了解今年高中畢業(yè)生的體能狀況，從本市某校高中畢業(yè)班中抽取一個班進行鉛球測試，成績在8.0米（精確到0.1米）以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7．
（Ⅰ）求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)；
（Ⅱ）用此次測試結果估計全市畢業(yè)生的情況．若從今年的高中畢業(yè)生中隨機抽取兩名，記X表示兩人中成績不合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅲ）經(jīng)過多次測試后，甲成績在8～10米之間，乙成績在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠的概率．

Answer 1

分析 （I）利用頻率分布直方圖求出第6小組的頻率，然后求解此次測試總?cè)藬?shù)．
（II）判斷X=0，1，2，求出成績不合格的概率，得到X～$B（2，\frac{7}{25}）$．求出概率，得到分布列，然后求解期望．
（III）設甲、乙各投擲一次的成績分別為x、y米，則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}8≤x≤10\\ 9.5≤y≤10.5\end{array}\right.$，
事件A甲比乙投擲遠的概率”滿足的區(qū)域為x＞y，利用幾何概型求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次測試總?cè)藬?shù)為：$\frac{7}{0.14}=50$（人）．
∴第4、5、6組成績均合格，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．…（4分）
（II）X=0，1，2
此次測試中成績不合格的概率為$\frac{14}{50}=\frac{7}{25}$，
∴X～$B（2，\frac{7}{25}）$．
$P（X=0）=（\frac{18}{25}）^{2}=\frac{324}{625}$，$P（X=1）={C}_{2}^{1}{（\frac{7}{25}）（\frac{18}{25}）}^{\;}=\frac{252}{625}$，
$P（X=2）={（\frac{7}{25}）}^{2}=\frac{49}{625}$．
所求分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{324}{625}$	$\frac{252}{625}$	$\frac{49}{625}$

…（6分）
 E（X）=np=2×$\frac{7}{25}$=$\frac{14}{25}$；…（8分）
（III）設甲、乙各投擲一次的成績分別為x、y米，則基本事件滿足的區(qū)域為
$\left\{\begin{array}{l}8≤x≤10\\ 9.5≤y≤10.5\end{array}\right.$，
事件A甲比乙投擲遠的概率”滿足的區(qū)域為x＞y，如圖所示．

∴由幾何概型$P（A）=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}=\frac{1}{16}$．
則甲比乙投擲遠的概率是$\frac{1}{16}$． …（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，幾何概型的求法，考查計算能力．