Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足，|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，代入夾角的余弦公式，求出即可；（Ⅱ）根據(jù)平面向量的運(yùn)算性質(zhì)展開(kāi)計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3|$\overrightarrow$|²=61；
又|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，
∴64-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-27=61，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6，
∴cos θ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
又0≤θ≤π，∴θ=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=16+2（-6）+9=13，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，理解并牢記公式是解題的關(guān)鍵，本題是一道基礎(chǔ)題．