Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分別為BC、PA的中點．
（1）求證：EF∥面PCD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）求三棱錐C-BDP的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PD中點為G，連接GC、GF∵FG

∥ .

.

EC，∴四邊形CEFG為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可得所求；
（2）取AD中點為H，連接PH，BH，△PAD中，PA=PD，H為AD中點⇒PH⊥AD，由等邊三角形得到AD⊥BH，得到AD⊥面PBH，再由平面垂直的性質(zhì)解答；
（3）求出三棱錐C-BDP的高PH，利用三棱錐的體積解答．

解答： 解：（1）取PD中點為G，連接GC、GF∵FG

∥ .

.

EC，∴四邊形CEFG為平行四邊形，
故

EF∥GC EF?面PCD GC⊆面PCD

⇒EF∥面PCD，
（2）取AD中點為H，連接PH，BH△PAD中，PA=PD，H為AD中點⇒PH⊥AD，
正△ABD中，H為AD中點⇒BH⊥AD，
故AD⊥面PBH⇒AD⊥PB．
（3）

PH⊥AD 面PAD⊥面ABCD 面PAD∩面ABCD=AD PH?面PAD

⇒PH⊥面ABCD，且PH=3，
所以VC-BDP=VP-BCD=

1

3

S△BCD•PH=

1

3

×(

1

2

×8×8×sin

π

3

)×3=16

3

．

點評：本題考查了線面平行和線面垂直的性質(zhì)以及判定定理 的運用，考查三棱錐體積的求法，屬于中檔題．