Question

17．已知f（x）的圖象過點(diǎn)（1，1），且對任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+3，數(shù)列{a_n}滿足a₁=-1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3^n}n為正奇數(shù)\\ f（{a_n}）n為正偶數(shù)\end{array}$．
（Ⅰ）求f（n）關(guān)于n（n∈N^*）的表達(dá)式和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=3na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得f（1）=1，f（n+1）-f（n）=3，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得f（n）=3n-2；然后分n為正偶數(shù)和n為正奇數(shù)求得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n-1}-2，n為正奇數(shù)}\\{{3}^{n-1}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=3na_n=$\left\{\begin{array}{l}{n•{3}^{n}-6n，n為正奇數(shù)}\\{n•{3}^{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，再分當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)和當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)分組后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及錯(cuò)位相減法求和得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：f（1）=1，f（n+1）-f（n）=3，
∴f（n）=1+3（n-1）=3n-2；
則當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，${a_n}={a_{（n-1）+1}}={3^{n-1}}$，
n為正奇數(shù)時(shí)，${a_n}={a_{（n-1）+1}}=f（{a_{n-1}}）=3{a_{n-1}}-2=3×{3^{n-2}}-2={3^{n-1}}-2$，
且n=1時(shí)，a₁=-1也適合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n-1}-2，n為正奇數(shù)}\\{{3}^{n-1}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=3na_n=$\left\{\begin{array}{l}{n•{3}^{n}-6n，n為正奇數(shù)}\\{n•{3}^{n}，n為正偶數(shù)}\end{array}\right.$，
①當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，
${S_n}=（1×{3^1}-6×1）+2×{3^2}+（3×{3^3}-6×3）+…+[3×{3^{n-1}}-6×（n-1）]+n×{3^n}$
=（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）-6×[1+3+…+（n-1）]=${A_n}-6×\frac{{\frac{n}{2}×n}}{2}={A_n}-\frac{3}{2}{n^2}$，
其中${A_n}=1×{3^1}+2×{3^2}+3×{3^3}+…+n×{3^n}$，
則$3{A_n}=1×{3^2}+2×{3^3}+3×{3^4}+…+n×{3^{n+1}}$，
兩式相減得$-2{A_n}={3^1}+{3^2}+3×{3^3}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-n）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}$，
∴${A_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}+\frac{3}{4}$，
∴當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，${S_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{4}$；
②當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，${S_n}={S_{n-1}}+{b_n}=（\frac{n-1}{2}-\frac{1}{4}）•{3^n}-\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{4}+n•{3^n}-6n$
=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3^{n+1}}-\frac{3}{2}{n^2}-3n-\frac{3}{4}$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{3}{4}，n為正偶數(shù)}\\{（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n+1}-\frac{3}{2}{n}^{2}-3n-\frac{3}{4}，n為正奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了由遞推式分類求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和、錯(cuò)位相減法求和等求和方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了計(jì)算能力，屬難題．