Question

6．在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b=4，A=$\frac{π}{3}$，面積S=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx），將f（x）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$（縱坐標不變）得到g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角形的面積公式求出c邊的長，進一步利用余弦定理求出a的長．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進一步求出B的大小和C的大小，進一步把函數(shù)關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，再利用函數(shù)圖象的變換求出g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），最后利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C；且b=4，A=$\frac{π}{3}$，面積S=2$\sqrt{3}$．
則：S=$\frac{1}{2}bcsinA$．
$2\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4×csin\frac{π}{3}$
解得：c=2．
a²=b²+c²-2bccosA
則：a=$2\sqrt{3}$．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
所以：$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{sinB}$，
解得：sinB=1，
由于0＜B＜π
則：$B=\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$．
f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），將f（x）圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$（縱坐標不變）得到g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令：$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤$$\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$
則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}$]（k∈Z）

點評 本題考查的知識要點：三角形面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)圖象的伸縮變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定．