Question

18．已知角α（0≤α＜$\frac{π}{2}$）的終邊過點（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），β∈（$\frac{π}{2}$，π），且β≠$\frac{3π}{4}$，則α-β的值為$-\frac{3}{4}π$．

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦化簡點P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），求出P到原點的距離，再由任意角的三角函數(shù)的定義列式，結(jié)合0≤α＜$\frac{π}{2}$得到β的具體范圍，把定義式化簡，作和后平方得到sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．最后結(jié)合已知角的范圍求得α-β的值．

解答 解：點P（cos2β，1+sin3βcosβ-cos3βsinβ），即點P（cos2β，1+sin2β），
∴$|OP|=\sqrt{co{s}^{2}2β+（1+sin2β）^{2}}$=$\sqrt{2+2sin2β}=\sqrt{2（sinβ+cosβ）^{2}}$=$\sqrt{2}|sinβ+cosβ|$．
由題意可得cosα=$\frac{cos2β}{\sqrt{2}|sinβ+cosβ|}$$＞\\;0$0，sinα=$\frac{1+sin2β}{\sqrt{2}|sinβ+cosβ|}$≥0．
∵β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2β∈（π，2π），由cos2β＞0，知2β∈（$\frac{3π}{2}，2π$），則β∈（$\frac{3π}{4}，π$），
∴sinβ+cosβ＜0．
則cosα=$-\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{\sqrt{2}（cosβ+sinβ）}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（cosβ-sinβ）$ ①，
sinα=$-\frac{（sinβ+cosβ）^{2}}{\sqrt{2}（sinβ+cosβ）}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}（cosβ+sinβ）$ ②，
由①得，cosβ-sinβ=$-\sqrt{2}cosα$，
由②得，cosβ+sinβ=-$\sqrt{2}sinα$，
兩式作和得：$2cosβ=-\sqrt{2}（sinα+cosα）$，
兩邊平方并整理得：sin2α=cos2β=sin（$\frac{π}{2}$-2β）．
∵0≤α＜$\frac{π}{2}$，∴2α∈[0，π），又2β∈（$\frac{3π}{2}，2π$），
∴$\frac{π}{2}-2β+2α=-π$，則α-β=-$\frac{3}{4}π$．
故答案為：$-\frac{3}{4}π$．

點評 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查學生靈活解決問題和處理問題的能力，屬有一定難度題目．