【題目】已知橢圓(為參數(shù)),存在一條直線,使得此直線被這些橢圓截得的線段長都等于,求直線方程_____.

【答案】

【解析】

先判斷出橢圓 (為參數(shù))表示中心在直線上，長軸長和短軸長分別為4,2的一組橢圓，判斷出符合條件的直線需要與直線平行，設出直線方程，先利用一個特殊的橢圓與直線方程聯(lián)立求出直線的方程，再證明對于所有的橢圓都滿足條件.

解:橢圓 (為參數(shù))可化為，

所以表示中心在直線上,長軸長和短軸長分別為4,2的一組橢圓，而所求的直線與這組橢圓種的任意橢圓都相交，

若所求的直線與直線不平行，則必定存在橢圓與直線不相交，

于是，設所求直線的方程為，

因為此直線被這些橢圓截得的線段長都等于，則直線與橢圓所得到弦長為，設弦的兩端點為，，

由得，所以，，

所以，即，

解得，

設直線與橢圓 (為參數(shù))，相交所得的弦長為，弦的兩端點為：，，

則由得，

所以，，

因此

所以直線與橢圓 (為參數(shù))相交所得的弦長為.

同理可證,對任意,橢圓 (為參數(shù))與直線相交所得弦長為.

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