Question

3．函數(shù)f（x）=sin²x+$\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}$的最小正周期是π，當0≤x≤$\frac{7}{24}$π時，f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 將f（x）化成y=Asin（ωx+φ）形式，即可求得周期，根據(jù)x的范圍求出相位的范圍，得到f（x）的最大值．

解答 解：f（x）=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
當0≤x≤$\frac{7}{24}$π時，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{12}$，
∴當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$時，f（x）取得最大值sin（$\frac{5π}{12}$）=sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
故答案為$π，\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．