已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,實(shí)軸長(zhǎng)為2.一條斜率為1的直線l過(guò)右焦點(diǎn)F與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓與右準(zhǔn)線交于M,N兩點(diǎn).
(1)若雙曲線的離心率為2,求圓的半徑;
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為H,若,求雙曲線的方程.
解答:(1)設(shè)所求方程為. 由已知2a=2,∴a=1,又e==2,∴c=2. ∴雙曲線方程為右焦點(diǎn)F(2,0),L;y=x-2,代入得 . 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則, ∴, ∴r=3. (2)設(shè)雙曲線方程為L;y=x-2,代入并整理得 . ∴. 設(shè)半徑為R,,則. ∵,∴,∴. ∴,代入得:c2=3. ∴為所求. |
分析:(1)求圓的半徑可用直線上的兩點(diǎn)間的距離公式.(2)這一條件的應(yīng)用若用坐標(biāo)表示則較繁,可使用定義. 說(shuō)明:本題主要考查了圓錐曲線的有關(guān)性質(zhì),向量的定義及運(yùn)算,分析問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)計(jì)算能力. |
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