Question

6．（1）化簡S_n=1+2a+3a²+4a³+…+na^n-1，a≠0，n∈N^*；
（2）已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃a_n，則數(shù)列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）討論a=1時，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式；當(dāng)a≠1，a≠0時，運(yùn)用錯位相減法和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式，可得公比q=3，進(jìn)而得到等比數(shù)列的通項公式，求得b_n=log₃3ⁿ=n，即有$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，S_n=1+2+3+4+…+n=$\frac{n（1+n）}{2}$；
當(dāng)a≠1，a≠0時，S_n=1+2a+3a²+4a³+…+na^n-1，
aS_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，
相減可得，（1-a）S_n=1+a+a²+a³+…+a^n-1-naⁿ
=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$-naⁿ，
化簡可得，S_n=$\frac{1-{a}^{n}}{（1-a）^{2}}$-$\frac{n{a}^{n}}{1-a}$；
（2）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁=3，a₄=81，可得3q³=81，
解得q=3，
則a_n=a₁q^n-1=3ⁿ．
即有b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則前n項和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法和裂項相消求和，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，以及化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．