Question

1．已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A，A'兩點(diǎn)，|AA'|=$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)G，H，求△OEF的面積最大時(shí)弦長(zhǎng)|GH|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A，A'兩點(diǎn)，|AA'|=$\sqrt{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)$∠EOF=\frac{π}{2}$時(shí)，S_△OEF最大，此時(shí)|EF|=$\sqrt{2}$，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程為x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知能求出△OEF的面積最大時(shí)弦長(zhǎng)|GH|的取值范圍．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A，A'兩點(diǎn)，|AA'|=$\sqrt{2}$．
∴設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
依題意有：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\|{AA'}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
又a²=b²+c²，
解得：$a=\sqrt{2}，b=1，c=1$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）依題意：${S}_{△OEF}=\frac{1}{2}$|OE|•|OF|sin$∠EOF=\frac{1}{2}$sin∠EOF，
∴當(dāng)$∠EOF=\frac{π}{2}$時(shí)，S_△OEF最大，此時(shí)|EF|=$\sqrt{2}$，
點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程為x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時(shí)|GH|=$\sqrt{3}$
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx+m
其中$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，于是2m²=1+k²，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，
于是，由弦長(zhǎng)公式可得：$|{GH}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}}）}^2}-4\frac{{2{m^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{2{k^2}+1}}\sqrt{16{k^2}+8-8{m^2}}$，
代入2m²=1+k²得$|{GH}|=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{3{k^2}+1}}}{{2{k^2}+1}}$
令t=2k²+1≥1，則${k^2}=\frac{t-1}{2}$代入上式得：$|{GH}|=\sqrt{\frac{{3{t^2}+2t-1}}{t^2}}=\sqrt{-\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t}+3}$，
由于t≥1，所以$0＜\frac{1}{t}≤1$，于是$\sqrt{3}＜|{GH}|≤2$
綜上所述：$\sqrt{3}≤|{GH}|≤2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查△OEF的面積最大時(shí)弦長(zhǎng)|GH|的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．