【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極小值;
(2)設(shè)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若在區(qū)間上存在一點(diǎn),使得成立,求的取值范圍,( )
【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值1;(2)當(dāng)時(shí), 的遞減區(qū)間為;遞增區(qū)間為,當(dāng)時(shí), 只有遞增區(qū)間為;(3).
【解析】試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第一問(wèn),當(dāng)時(shí),先得到解析式,在定義域范圍內(nèi),解不等式, 得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而得到函數(shù)的極值;第二問(wèn),先求出表達(dá)式,對(duì)求導(dǎo),需討論的根與0的大小,分情況討論;第三問(wèn),將在()上存在一點(diǎn),使得成立轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合第二問(wèn)的結(jié)論,討論求的最小值.
試題解析:(1)的定義域?yàn)?/span>. 1分
當(dāng)時(shí), , . 2分
由,解得.
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,極小值為; 4分
(2),其定義域?yàn)?/span>.
又. 5分
①當(dāng),即時(shí),在上,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分
②當(dāng),即時(shí),在上,在上,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增; 7分
綜上所述:當(dāng)時(shí), 的遞減區(qū)間為;遞增區(qū)間為.
當(dāng)時(shí), 只有遞增區(qū)間為. 8分
(3)若在上存在一點(diǎn),使得成立,即在上存在一點(diǎn),使得.
則函數(shù)在上的最小值小于零. 9分
①當(dāng),即時(shí),由(2)可知在上單調(diào)遞減.
故在上的最小值為,由,可得.
因?yàn)?/span>.所以; 10分
②當(dāng),即時(shí),由(2)可知在上單調(diào)遞增.
故在上最小值為,由,
可得(滿足); 11分
③當(dāng),即時(shí),由(2)可知可得在上最小值為
.
因?yàn)?/span>,所以, .
,即不滿足題意,舍去. 13分
綜上所述得,或.
實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù)).
(1)若, ,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,且,求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的值;
(3)設(shè),若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在研究某種藥物對(duì)“H1N11”病毒的治療效果時(shí),進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn),得到以下數(shù)據(jù),對(duì)146只動(dòng)物服用藥物,其中101只動(dòng)物存活,45只動(dòng)物死亡;對(duì)照組144只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療,其中124只動(dòng)物存活,20只動(dòng)物死亡.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表;
(2)試問(wèn)該種藥物對(duì)治療“H1N1”病毒是否有效?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合 計(jì) | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合 計(jì) | 70 | 30 | 100 |
⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差
異”;
⑵已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)
抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,某幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形及每個(gè)正方形內(nèi)一段半徑為1,圓心角為的圓弧,則該幾何體的體積是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極小值;
(3)設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn), , ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇;
方案甲:?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為.第一次抽獎(jiǎng),若未中獎(jiǎng),則抽獎(jiǎng)結(jié)束.若中獎(jiǎng),則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎(jiǎng)金,不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng);若正面朝上,員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),且在第二次抽獎(jiǎng)中,若中獎(jiǎng),獲得獎(jiǎng)金1000元;若未中獎(jiǎng),則所獲獎(jiǎng)金為0元.
方案乙:?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng),每次中獎(jiǎng)率均為,每次中獎(jiǎng)均可獲獎(jiǎng)金400元.
(1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金(元)的分布列;
(2)某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng),試比較哪個(gè)方案更劃算?
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