Question

已知A，B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點，點D(1，

3

2

)在橢圓C上，且直線D與直線DB的斜率之積為-

b2

4

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，已知P，Q是橢圓C上不同于頂點的兩點，直線AP與QB交于點M，直線PB與AQ交于點N．若弦PQ過橢圓的右焦點F₂，求直線MN的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1

a2

+

9 4

b2

=1，

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=

9 4

1-a2

=-

b2

4

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設PQ：x=ty+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此能求出直線MN的方程．

解答： 解：（1）∵點D(1，

3

2

)在橢圓C上，
∴

1

a2

+

9 4

b2

=1，
又直線DA與直線DB的斜率之積為-

b2

4

，
∴

3 2

1+a

•

3 2

1-a

=

9 4

1-a2

=-

b2

4

，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設PQ：x=ty+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y1+y2=

-6t

3t2+4

，y1y2=

-9

3t2+4

，
∴直線AP的直線方程為x=

x1+2

y1

y-2，
BQ的直線方程為x=

x2-2

y2

y+2，
聯(lián)立，解得x_M=4，同理，x_N=4，
∴直線MN的方程為x=4．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．