【題目】如圖，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，的長(zhǎng)軸是圓的直徑，、是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.

【答案】（1）；當(dāng)直線的方程為時(shí)，的面積取最大值.

【解析】

試題（1）首先根據(jù)題中條件求出和的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）先設(shè)直線的方程為，先利用弦心距、半徑長(zhǎng)以及弦長(zhǎng)之間滿足的關(guān)系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長(zhǎng)

，然后根據(jù)直線與兩者所滿足的垂直關(guān)系設(shè)直線，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出直線截橢圓的弦長(zhǎng)，然后求出的面積的表達(dá)式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.

試題解析：（1）由題意得，

橢圓的方程為；

（2）設(shè)、、，

由題意知直線的斜率存在，不妨設(shè)其為，則直線的方程為，

故點(diǎn)到直線的距離為，又圓，

，

又，直線的方程為，

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

，

設(shè)的面積為，則

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號(hào)，

當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，

此時(shí)直線的方程為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)．求證：⊥.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)系方程為.

（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬(wàn)人

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若同學(xué)甲必選物理，則下列說法正確的是（ ）

A.甲、乙、丙三人至少一人選化學(xué)與全選化學(xué)是對(duì)立事件

B.甲的不同的選法種數(shù)為15

C.已知乙同學(xué)選了物理，乙同學(xué)選技術(shù)的概率是

D.乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某市高中某學(xué)科競(jìng)賽中，某一個(gè)區(qū)4000名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

（1）求這4000名考生的競(jìng)賽平均成績(jī)（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；

（2）記70分以上為優(yōu)秀，70分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān)？

合格

優(yōu)秀

合計(jì)

男生

720

　 　

　 　

女生

　 　

1020

　 　

合計(jì)

　 　

　 　

4000

附：

p（k2≥k0）

0.010

0.005

0.001

k0

6.635

7.879

10.828

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省新高考將實(shí)行“”模式，“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文數(shù)學(xué)外語(yǔ)，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)生物思想政治地理4個(gè)科目中選擇兩科.某考生已經(jīng)確定“首選科目”為物理，如果他從“再選科目”中隨機(jī)選擇兩科，則思想政治被選中的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，當(dāng)四面體的體積取得最大值時(shí)，求二面角的余弦值.

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【題目】為了調(diào)查國(guó)企員工對(duì)新個(gè)稅法的滿意程度，研究人員在地各個(gè)國(guó)企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布表，其中.（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

分?jǐn)?shù)

[50，60)

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

頻率

0.08

0.35

0.27

（1）試估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)；

（2）若把每組的組中值作為該組的滿意程度，試估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的平均數(shù).

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