Question

15．已知過點(diǎn) P（1，1）的兩條直線斜率均存在，且互相垂直．若這兩條直線被圓O：x²+y²=4所截得的弦長之比為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，則這兩條直線的斜率之和為$-\frac{8}{3}$或$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)這兩條直線的斜率分別為k、-$\frac{1}{k}$，利用點(diǎn)斜式求得兩條弦所在的直線方程，求出各自的弦心距，再結(jié)合弦長之比為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得到關(guān)于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的兩根之和．

解答 解：設(shè)這兩條直線的斜率分別為k、-$\frac{1}{k}$，
則這兩條直線的方程分別為m：y-1=k（x-1），n：y-1=-$\frac{1}{k}$（x-1），
即m：kx-y+1-k=0，n：x+ky-1-k=0．
圓心O到直線m的距離為d=$\frac{|k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得弦長為2$\sqrt{4-\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
圓心O到直線n的距離為d′=$\frac{|k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，可得弦長為2$\sqrt{4-\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$．
再由弦長之比為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即可得3k²+10k+3=0．
求得k=-3，或k=-$\frac{1}{3}$，
∴當(dāng)k=-3時(shí)，這兩條直線的斜率之和為$-\frac{8}{3}$；當(dāng)k=-$\frac{1}{3}$時(shí)，兩條直線的斜率之和為$\frac{8}{3}$．
故答案為：$-\frac{8}{3}$或$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，韋達(dá)定理，弦長公式，屬于中檔題．