【題目】如圖,已知橢圓的右焦點為,點分別是橢圓的上、下頂點,點是直線上的一個動點(與軸交點除外),直線交橢圓于另一點.
(1)當(dāng)直線過橢圓的右焦點時,求的面積;
(2)記直線的斜率分別為,求證:為定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
試題(1)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,求出交點坐標(biāo),再利用三角形的面積公式進行求解;(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,得到關(guān)于的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式進行證明.
試題解析:(1)由題意,焦點,當(dāng)直線過橢圓的右焦點時,則直線的方程為,即,
聯(lián)立,,解得,或(舍),即.
連,則直線:,即,
而,.
故
(2)設(shè),且,則直線的斜率為
,
則直線的方程為,
聯(lián)立,化簡得,
解得,
所以,,
所以為定值.
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【題目】已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體,存在實數(shù),對于定義域內(nèi)的任意均有成立,稱數(shù)對為函數(shù)的“伴隨數(shù)對”.
(1)判斷是否屬于集合,并說明理由;
(2)若函數(shù),求滿足條件的函數(shù)的所有“伴隨數(shù)對”;
(3)若,都是函數(shù)的“伴隨數(shù)對”,當(dāng)時,;當(dāng)時,.求當(dāng)時,函數(shù)的零點.
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【題目】設(shè)函數(shù)(a,);
(1)若,求證:函數(shù)的圖像必過定點;
(2)若,證明:在區(qū)間上的最大值;
(3)存在實數(shù)a,使得當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)b的最大值;
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【題目】已知橢圓: 的離心率為,橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為4.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線與橢圓交于, 兩點, 的中點在圓上,求(為坐標(biāo)原點)面積的最大值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓上的點到右焦點的距離的最大值為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過橢圓的右焦點作傾斜角不為零的直線與橢圓交于兩點,設(shè)線段的垂直平分線在軸上的截距為,求的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項公式;
(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】為了解人們對于國家新頒布的“生育二胎放開”政策的熱度,現(xiàn)在某市進行調(diào)查,隨機調(diào)查了人,他們年齡的頻數(shù)分布及支持“生育二胎”人數(shù)如下表:
年齡 | ||||||
頻數(shù) | ||||||
支持“生二胎” |
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并問是否有的把握認為以歲為分界點對“生育二胎放開”政策的支持度有差異;
年齡不低于歲的人數(shù) | 年齡低于歲的人數(shù) | 合計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合計 |
(2)若對年齡在的被調(diào)查人中隨機選取兩人進行調(diào)查,恰好這兩人都支持“生育二胎放開”的概率是多少?
參考數(shù)據(jù):
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【題目】已知點的坐標(biāo)分別為,.三角形的兩條邊,所在直線的斜率之積是.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)直線方程為,直線方程為,直線交于,點,關(guān)于軸對稱,直線與軸相交于點.若的面積為,求的值.
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