Question

20．若不等式${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{4}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，1）
• C． （$\frac{1}{16}$，1）
• D． [$\frac{1}{16}$，1）

Answer 1

分析 不等式${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)恒成立?${lo{g}_{m}}^{x}$＞x²在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)恒成立，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，繼而可求得實數(shù) m 的取值范圍．

解答 解：∵${x^2}-{log_m}^x＜0（m＞0$且m≠1）在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)恒成立，
∴${lo{g}_{m}}^{x}$＞x²在（0，$\frac{1}{2}$）內(nèi)恒成立，∴0＜m＜1，
且${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴${m}^{\frac{1}{4}}$≥$\frac{1}{2}$，
∴m≥$\frac{1}{16}$，又0＜m＜1，
∴實數(shù) m 的取值范圍為[$\frac{1}{16}$，1）．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的理解與應用，得到${lo{g}_{m}}^{\frac{1}{2}}$≥${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$是關(guān)鍵，屬于中檔題．