Question

11．2011年，國(guó)際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)，來源是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦的數(shù)學(xué)嘉年華活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了如下有獎(jiǎng)闖關(guān)游戲：參賽選手按第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，若闖關(guān)成功，分別獲得5個(gè)學(xué)豆、10個(gè)學(xué)豆、20個(gè)學(xué)豆的獎(jiǎng)勵(lì)，游戲還規(guī)定，當(dāng)選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲；也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，若有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束．設(shè)選手甲第一關(guān)、第二關(guān)、第三關(guān)的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為$\frac{1}{2}$，且各關(guān)之間闖關(guān)成功互不影響
（1）求選手獲得5個(gè)學(xué)豆的概率；
（2）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出選手獲得5個(gè)學(xué)豆的概率．
（2）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，由此能求出選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率．

解答 解：（1）選手獲得5個(gè)學(xué)豆的概率$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
（2）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件A，
“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₁，
“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗”為事件A₂，則A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，
∴選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．