已知函數(shù)f（x）=alnx+
2a2
x
+x（a＞0）．若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導數(shù)的概念及應用
分析：（1）先求出f′x）=
a
x
-
2a2
x2
+1，得f′（1）=-2，從而求出a的值，
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，解不等式從而求出單調(diào)區(qū)間．
解答： 解：（Ⅰ）∵f′x）=
a
x
-
2a2
x2
+1，
∴f′（1）=-2，
∴2a2-a-3=0，
∵a＞0，
∴a=
3
2
．
（Ⅱ）∵f′（x）=
(2x-3)(x+3)
2x2
，
令f′（x）＞0，解得：x＞
3
2
，x＜-3（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜
3
2

∴f（x）在（0，
3
2
）遞減，在（
3
2
，+∞）遞增．
點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，切線方程，是一道基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=
1
4
，an=
an-1
(-1)nan-1-2
（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{
1
an
+（-1）n}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)cn=ansin
(2n-1)π
2
，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意的n∈N*，Tn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
x2+1
+
(4-x)2+4
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+2ax+2，x∈[-5，5]，求函數(shù)f（x）的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)x=
1
3
-2
，y=
1
3
+2
，求代數(shù)式
x2+xy+y2
x+y
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合M={x|x=a2+1，a∈N}，集合P={y|y=b2+2b+2，b∈N}，判斷M與P是否相等．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex
（Ⅰ）當x＞0時，設(shè)g（x）=f（x）-（a+1）x（a∈R）．討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明當x∈[
1
2
，1]時，f（x）＜x2+x+1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

由數(shù)字1，2，3組成的n位數(shù)，1，2，3每個至少出現(xiàn)一次，這樣的n位數(shù)共有多少個？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a3=5，a5-2a2=3，又等比數(shù)列{bn}中，b1=3且公比q=3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．

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