Question

若函數(shù)f（x）=sinx的圖象的兩條相互垂直的切線交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（　�。�

• A、（

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）
• B、（

  3π

  2

  ，-

  π

  2

  ）
• C、（-

  π

  2

  ，-

  π

  2

  ）
• D、（

  3π

  2

  ，

  π

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于kπ，縱坐標(biāo)為0．求出相鄰的兩條切線方程，解方程組求出兩切線交點(diǎn)的坐標(biāo)，檢驗(yàn)可得結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
設(shè)這兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1．
不妨設(shè)cosx₁≤cosx₂，則必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于kπ，縱坐標(biāo)為0．
由于所給選項(xiàng)縱坐標(biāo)比較小，故這兩條切線必為相鄰兩條互相垂的切線．
不妨設(shè)切線的斜率等于1的切線對(duì)應(yīng)的一個(gè)切點(diǎn)為A（0，0），則另一個(gè)切線的斜率為-1．
①當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為B（-π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x+π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（-

π

2

，-

π

2

）．
②當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為C（π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x-π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（

π

2

，

π

2

）．
③若斜率等于1的切線對(duì)應(yīng)的一個(gè)切點(diǎn)為E（2π，0），當(dāng)另一個(gè)切點(diǎn)為C（π，0），
則兩條切線的方程分別為y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此時(shí)這兩條切線的交點(diǎn)為（

3π

2

，-

π

2

）．
故A、B、C都可以，D選項(xiàng)不可能，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．