Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE與平面ABCD所成角的正切值為

2

2

（1）求證：AC∥平面EFB
（2）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC，BD交于O，取EB中點(diǎn)M，連結(jié)FM，MO，由已知條件推導(dǎo)出四邊形FAOM是平行四邊形，由此能證明直線AC∥平面EFB；
（2）先求出ED，再轉(zhuǎn)換底面求三棱錐C-BEF的體積．

解答： （1）證明：設(shè)AC，BD交于O，取EB中點(diǎn)M，連結(jié)FM，MO，
在△BDE中，OM∥DE，OM=

1

2

DE，F(xiàn)A∥DE，F(xiàn)A=

1

2

DE，
∴OM∥FA，OM=FA，
∴四邊形FAOM是平行四邊形，
∴FG∥AO，又AO不包含平面EFB，F(xiàn)G?平面EFB，
∴直線AC∥平面EFB．
（2）解：∵ED⊥平面ABCD，
∴BD是BE在面ABCD的射影
∴∠EBD與平面BCD所成角
∴tan∠EBD=

ED

2 2

，
∴ED=2                           …（7分）
由（1）知AC∥平面BEF，
∴A，C到平面BEF等距   …（8分）
正方形ABCD中AB⊥AD  ①
DE⊥平面ABCD，且FA∥ED，∴FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AB  ②
由①②知AB⊥平面ADEF，∴AB為棱錐B-AEF的高               …（10分）
因此，V_C-BEF=V_A-BEF=V_B-AEF=

1

3

×

1×2

2

×2=

2

3

   …（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐C-BEF的體積，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面平行的判定是關(guān)鍵．