Question

（2012•德陽二模）如圖，ABCD為正方形，PA丄面ABCD，E，F分別為BC、CD的中點，PA=AD=2．
（1）求證：面PFD丄面PAD；
（2）求面PAE與面PFD所成的銳二面角．

Answer 1

分析：（1）先證明CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定，證明面PFD丄面PAD；
（2）建立開具直角坐標系，求出平面APE的一個法向量

m

=(1，-2，0)，平面PDF的一個法向量

n

=(0，1，1)，利用向量的夾角公式，即可求得面PAE與面PFD所成的銳二面角．

解答：（1）證明：∵PA丄面ABCD，CD?面ABCD，∴PA丄CD
∵ABCD為正方形，∴CD⊥AD
∵PA∩DA=A，∴CD⊥平面PAD
∵CD?平面PCD
∴面PFD丄面PAD；
（2）建立如圖所示的直角坐標系，

則

AP

=(0，0，2)，

AE

=（2，1，0），
設平面APE的一個法向量為

m

=(x，y，z)，則

2z=0 2x+y=0

，∴可取

m

=(1，-2，0)
設平面PDF的一個法向量為

n

=(x′，y′，z′)，∵

PD

=(0，2，-2)，

DF

=(1，0，0)
∴

2y′-2z′=0 x′=0

，∴可取

n

=(0，1，1)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-2

5 × 2

=-

10

5

∴面PAE與面PFD所成的銳二面角為arccos

10

5

．

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定方法，正確運用空間向量解決空間角問題，屬于中檔題．