Question

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是AB=2，BC=

2

的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點，設(shè)直線l過點C且垂直于矩形ABCD所在平面，點F是直線l上的一個動點，且與點P位于平面ABCD的同側(cè)．

（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)二面角F-PB-D的大小為θ，若θ=

π

4

，求線段CF的長．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接EC，由已知推導(dǎo)出△EBC∽△BCD，從而BD⊥CE，BD⊥PE，由此能證明PE⊥平面ABCD．
（2）設(shè)CF=t，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CF=8

3

+10

2

．

解答： （1）證明：連接EC，∵

BE

BC

=

1

2

=

2

2

=

BC

CD

，
∠EBC=∠BCD=90°，
∴△EBC∽△BCD，∴∠ECB=∠BDC，∴BD⊥CE，
又∵PC⊥BE，PC∩CE=C，
∴BD⊥平面PEC，∴BD⊥PE，
在正△PAB中，∵E是AB的中點，
∴PE⊥AB，又∵AB∩BD=B，∴PE⊥平面ABCD．
（2）解：設(shè)CF=t，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則P（0，0，

3

），B（1，0，0），D（-1，

2

，0），F(xiàn)（1，

2

，t），

BD

=(-2，

2

，0)，

BP

=(-1，0，

3

)，

BF

=(0，

2

，t)，
設(shè)平面PBD的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BP =-x+ 3 z=0 n • BD =-2x+ 2 y=0

，取z=1，得

n

=（

3

，

6

，1），
設(shè)平面FPB的一個法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m • BP =-a+ 3 c=0 m • BF = 2 a+tz=0

，取z=1，得

m

=(

3

，-

t

2

，1)，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

|4- 3 t|

10 • 4+ t2 2

，
∴

|4- 3 t|

10 4+ t2 2

=

2

2

，
解得t=CF=8

3

+10

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線段長的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．