已知函數(shù)f（x）=
x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義
專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，f（x）=
x2+2x+a
x
=x+2+
1
2x
=x+
1
2x
+2．任取x1，x2是[1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，利用做差法，可判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x-
1
x
+2．由函數(shù)y1=x和y2=-
1
x
在[1，+∞）上都是增函數(shù)，可得f（x）=x-
1
x
+2在[1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值．
解答： 解：（1）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，f（x）=
x2+2x+a
x
=x+2+
1
2x
=x+
1
2x
+2．
設(shè)x1，x2是[1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=（x1+
1
2x1
）-（x2+
1
2x2
）
=（x1-x2）+（
1
2x1
-
1
2x2
）=（x1-x2）+
x2-x1
2x1x2

=（x1-x2）（1-
1
2x1x2
）=（x1-x2）•
x1•x2-
1
2
x1x2
．
因?yàn)?≤x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1•x2＞0，
x1x2-
1
2
＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x-
1
x
+2．
因?yàn)楹瘮?shù)y1=x和y2=-
1
x
在[1，+∞）上都是增函數(shù)，
所以f（x）=x-
1
x
+2在[1，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值f（1）=1-
1
1
+2=2，
即函數(shù)f（x）的最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的最值及其幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性的證明，是函數(shù)單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，難度中檔．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某人在靜水中游泳，速度為4
3
公里/小時(shí)，他在水流速度為4公里/小時(shí)的河中游泳．
（1）若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？
（2）他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=x2013+ax3-
b
x
-8，f（-2）=10，求f（2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
+b（x≠0）．，其中a，b∈R
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-
1
2
ax2-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)f′（x）≥0的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-
1
2
，且關(guān)于a≤
1-2x
x2
=(
1
x
-1)2-1的方程f（x）=-
1
2
x+b在[1，4]上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求證：an≤2n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知曲線(xiàn)C1：
x=1+
2
cost
y=1+
2
sint
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為p=2sinθ．
（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（p≥0，0≤θ＜2π）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)A（2，3）在橢圓C1上，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)C2：x2=4y交于不同兩點(diǎn)B，C，拋物線(xiàn)C2在點(diǎn)B，C處的切線(xiàn)分別為l1，l2，且l1與l2交于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）是否存在滿(mǎn)足（|
PF1
|-|
AF1
|）+（|
PF2
|-|
AF2
|）=0的點(diǎn)P？若存在，指出這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是AB=2，BC=
2
的矩形，△PAB是正三角形，將△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如圖2，E為AB的中點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C且垂直于矩形ABCD所在平面，點(diǎn)F是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)P位于平面ABCD的同側(cè)．

（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）設(shè)二面角F-PB-D的大小為θ，若θ=
π
4
，求線(xiàn)段CF的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出定義：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
，（其中m為整數(shù)），則m叫作離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m，在此基礎(chǔ)上，給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|{x}-x|的命題：
①函數(shù)f（x）的定義域是R，值域是[-
1
2
，
1
2
]；
②函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函數(shù)；
其中說(shuō)法正確的是
 
．

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