在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中c=2,且
(1)求證:△ABC是直角三角形;
(2)如圖,設(shè)圓O過(guò)A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)P位于劣弧上,求△PAC面積最大值.

【答案】分析:(1)由正弦定理求得sin2A=sin2B,故2A=2B或2A+2B=π,再由,可得只能,從而得到
△ABC是直角三角形.
(2)由(1)及c=2,及勾股定理得a=1,,設(shè),則 PA=AB•cosθ=2cosθ,化簡(jiǎn)△PAC面積為,再由θ的范圍可得時(shí),S△PAC 取得最大值.
解答:(1)證明:由正弦定理得,…(2分)
整理為sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,…(3分)
又因?yàn)?<2A、2B<2π,
∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或.…(6分)
,∴A=B舍去,故,
可知,∴△ABC是直角三角形.…(6分)
(2)解:由(1)及c=2,及勾股定理得a=1,,…(7分)
設(shè),則,…(8分)
在Rt△PAB中,PA=AB•cosθ=2cosθ
所以=…(10分)
==
===…(12分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185756742329754/SYS201310241857567423297018_DA/24.png">
所以,
當(dāng),即時(shí),S△PAC最大值等于.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,正弦定理、正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

8、對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.給出下列三個(gè)命題:
①若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90o,則||AC||2+||CB||2=||AB||2;
③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.
其中真命題的個(gè)數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,設(shè)復(fù)數(shù)z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上.
(1)求角B的大小;
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圓的面積為4π,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),定義它們之間的一種“距離”:‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|.給出下列三個(gè)命題:
①若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上,則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題是“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”.
②在平面內(nèi),F(xiàn)1、F2是定點(diǎn),|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足||MF1|-|MF2||=4,則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線(xiàn).
③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個(gè)角成等差數(shù)列”的充要條件.
④“若-3<m<5則方程
x2
5-m
+
y2
m+3
=1
是橢圓”.
⑤在四面體OABC中,
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則
OE
=
1
2
a
+
1
4
b
+
1
4
c

⑥橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5.
其中真命題的序號(hào)是:
①②③⑤⑥
①②③⑤⑥

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,設(shè)復(fù)數(shù)z=sinA(sinA-sinC)+(sin2B-sin2C)i,且z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上.
(1)求角B的大。
(2)若sinB=cosAsinC,△ABC的外接圓的面積為4π,求△ABC的面積.

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