已知橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在橢圓C上,且|PF1|=,
|PF2|= , PF1⊥F1F2.
(1)求橢圓C的方程;(6分)
(2)若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn),且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,求直線L的方程.
(1)橢圓C的方程為=1. (2)所求的直線方程為8x-9y+25=0.
解析試題分析:(1) ∵點(diǎn)P在橢圓C上,∴,a=3.
在Rt△PF1F2中,故橢圓的半焦距c=,
從而b2=a2-c2="4," ∴橢圓C的方程為=1.
(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1, y1)、(x2, y2). ∵圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5, ∴圓心M的坐標(biāo)為(-2,1). 從而可設(shè)直線l的方程為 y="k(x+2)+1," 代入橢圓C的方程得
(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. (*)
又∵A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. ∴ 解得,
∴直線l的方程為 即8x-9y+25=0. 此時(shí)方程(*)的 ,故所求的直線方程為8x-9y+25=0.
解法二:(1)同解法一.
(2)已知圓的方程為(x+2)2+(y-1)2=5, ∴圓心M的坐標(biāo)為(-2,1).
設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2). 由題意x1x2且
① ②
由①-②得 、
又∵A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,∴x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得=,即直線l的斜率為,
∴直線l的方程為y-1=(x+2),即8x-9y+25="0." 此時(shí)方程(*)的 ,故所求的直線方程為8x-9y+25=0.
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓、橢圓的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng):中檔題,本題求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),應(yīng)用了橢圓的定義。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本解法給出了兩種思路,其中思路1主要是利用韋達(dá)定理,結(jié)合對(duì)稱性求得直線方程;思路2則利用了“點(diǎn)差法”求斜率,進(jìn)一步結(jié)合對(duì)稱性求得直線方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線: 的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)(1,3)和圓:,過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段取一點(diǎn),滿足:,(且)。
求證:點(diǎn)總在某定直線上。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為。
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在圓上,求實(shí)數(shù)m的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,由4個(gè)點(diǎn)、、和組成一個(gè)高為,面積為的等腰梯形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線和橢圓交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知M (-3,0)﹑N (3,0),P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn),且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m,m0),點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀;
(2) 若,曲線C過點(diǎn)Q (2,0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B,AB中點(diǎn)為R,直線OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為,求證 為定值;
(3) 在(2)的條件下,設(shè),且,求在y軸上的截距的變化范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合,軸的正半軸與極軸重合,單位長度相同。已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為,射線,,與曲線交于極點(diǎn)以外的三點(diǎn)A,B,C.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時(shí),B,C兩點(diǎn)在曲線上,求與的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,
軸被拋物線截得的線段長等于的長半軸長.
(1)求的方程;
(2)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線
與相交于兩點(diǎn),直線分別與相交于.
①證明:為定值;
②記的面積為,試把表示成的函數(shù),并求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn)是F拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),且橢圓的離心率為
(1)求橢圓的方程;
(2)過拋物線上一點(diǎn)P,作拋物線的切線,切點(diǎn)P在第一象限,如圖,設(shè)切線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,記直線OP,F(xiàn)A,FB的斜率分別為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),若,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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