Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}（-1≤x≤0）}\\{\sqrt{1-{x}^{2}}（0＜x≤1）}\end{array}\right.$，則${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)積分的公式以及積分的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x+1）²dx+∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx+∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx
∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）|${\;}_{-1}^{0}$=0-（$-\frac{1}{3}$+1-1）=$\frac{1}{3}$，
∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的幾何意義是圓x²+y²=1，（0＜x≤1，y≥0）的面積S=$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}$=$\frac{π}{4}$，
則${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$

點評 本題主要考查函數(shù)積分的計算，根據(jù)分段函數(shù)的積分公式以及積分的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．