Question

14．某媒體為了解某地區(qū)大學(xué)生晚上放學(xué)后使用手機(jī)上網(wǎng)情況，隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每晚使用手機(jī)上網(wǎng)平均所用時(shí)間的頻率分布直方圖．將時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”．
（1）樣本中“手機(jī)迷”有多少人？

	非手機(jī)迷	手機(jī)迷	合計(jì)
男	30	15	45
女	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

（2）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？
（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量大學(xué) 生中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名大學(xué)生，抽取3次，經(jīng)調(diào)查一名“手機(jī)迷”比“非手機(jī)迷”每月的話費(fèi)平均多40元，記被抽取的3名大學(xué)生中的“手機(jī)迷”人數(shù)為X，且設(shè)3人每月的總話費(fèi)比“非手機(jī)迷”共多出Y元，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和Y的期望EY．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出在抽取的100人中，“手機(jī)迷”的人數(shù)．
（2）求出2×2列聯(lián)表，假設(shè)H₀：“手機(jī)迷”與性別沒有關(guān)系，求出K²=$\frac{100}{33}≈3.030$＜3.841，從而得到?jīng)]有95%把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)．
（3）由頻率分布直方圖知，抽到“手機(jī)迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從大學(xué)生中抽取一名“手機(jī)迷”的概率為$\frac{1}{4}$．由題意知，X～B（3，$\frac{1}{4}$）．且Y=40X，由此能求出X的分布列和Y的期望EY．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，
在抽取的100人中，“手機(jī)迷”有：
100×（0.2+0.05）=25人…（2分）
（2）從而2×2列聯(lián)表如下：

	非手機(jī)迷	手機(jī)迷	合計(jì)
男	30	15	45
女	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

…（3分）
假設(shè)H₀：“手機(jī)迷”與性別沒有關(guān)系．
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得：
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}=\frac{{100×{{（30×10-15×45）}^2}}}{45×55×75×25}=\frac{100}{33}≈3.030$．…（5分）
當(dāng)H₀成立時(shí)，P（K²≥3.841）≈0.05．…（6分）
∴3.030＜3.841，所以沒有95%把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)．…（7分）
（3）由頻率分布直方圖知，抽到“手機(jī)迷”的頻率為0.25，
將頻率視為概率，即從大學(xué)生中抽取一名“手機(jī)迷”的概率為$\frac{1}{4}$．
由題意知，X～B（3，$\frac{1}{4}$）．且Y=40X
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

$EX=np=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$EY=40EX=40×\frac{3}{4}=30$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．