【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P﹣ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.

【答案】
(1)證明:解法1:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,

由底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,

所以BC⊥平面PCD.而DE平面PDC,所以BC⊥DE.

又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.

而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB平面PBC,所以PB⊥DE.

又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,

即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB

解法2:

以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=DC=1,BC=λ,

則D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0), =(λ1,﹣1),點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以E(0, ), =(0, , ),

于是 =0,即PB⊥DE.

又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.

=(0,1,﹣1), =0,則DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.

由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,

即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB


(2)解法1:如圖1,

在面BPC內(nèi),延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ACBD的交線.

由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.

又因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.

所以DG⊥DF,DG⊥DB

故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,

設(shè)PD=DC=1,BC=λ,有BD= ,

在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPB=∠FDB= ,

則 tan =tan∠DPF= = = ,解得

所以 = =

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時(shí), =

解法2:

由PD⊥底面ABCD,所以 =(0,0,1)是平面ACDB的一個(gè)法向量;

由(1)知,PB⊥平面DEF,所以 =(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一個(gè)法向量.

若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,

則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出cos = = ,

解得 .所以所以 = =

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時(shí), =


【解析】(1)解法1:直線與直線,直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判斷DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,確定直角. 解法2:以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷即可.
(2.)根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線.利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF,DG⊥DB,根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可.解法2:由PD⊥底面ABCD,所以 =(0,0,1)是平面ACDB的一個(gè)法向量;由(1)知,PB⊥平面DEF,所以 =(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一個(gè)法向量.根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案.

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