【題目】已知函數(shù)f(x)=ex ,g(x)=2ln(x+1)+ex
(1)x∈(﹣1,+∞)時,證明:f(x)>0;
(2)a>0,若g(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ex ,f′(x)=ex﹣x﹣1,

令p(x)=f′(x)=ex﹣x﹣1,p′(x)=ex﹣1,

在(﹣1,0)內(nèi),p′(x)<0,p(x)單減;在(0,+∞)內(nèi),p′(x)>0,p(x)單增.

所以p(x)的最小值為p(0)=0,即f′(x)≥0,

所以f(x)在(﹣1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,即f(x)>f(﹣1)>0.


(2)解:令h(x)=g(x)﹣(ax+1),則h′(x)= ﹣ex﹣a,

令q(x)= ﹣ex﹣a,q′(x)=

由(1)得q′(x)<0,則q(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞減.

①當(dāng)a=1時,q(0)=h′(0)=0且h(0)=0.

在(﹣1,0)上h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,在(0,+∞)上h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

所以h(x)的最大值為h(0),即h(x)≤0恒成立.

②當(dāng)a>1時,h′(0)<0,

x∈(﹣1,0)時,h′(x)= ﹣ex﹣a< ﹣1﹣a=0,解得x= ∈(﹣1,0).

即x∈( ,0)時h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

又h(0)=0,所以此時h(x)>0,與h(x)≤0恒成立矛盾.

③當(dāng)0<a<1時,h′(0)>0,

x∈(0,+∞)時,h′(x)= ﹣ex﹣a> ﹣1﹣a=0,解得x= ∈(0,+∞).

即x∈(0, )時h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

又h(0)=0,所以此時h(x)>0,與h(x)≤0恒成立矛盾.

綜上,a的取值為1.


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令p(x)=f′(x),推出p′(x)=ex﹣1,
求出函數(shù)p(x)的最小值為p(0)=0,判斷f(x)在(﹣1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,證明f(x)>0.(2)令h(x)=g(x)﹣(ax+1),得到h′(x)= ﹣ex﹣a,構(gòu)造q(x)= ﹣ex﹣a,求出q′(x)= .求出q(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞減,①當(dāng)a=1時,求出h(x)的最大值為h(0),即h(x)≤0恒成立.②當(dāng)a>1時,h′(0)<0,推出h(x)>0,與h(x)≤0恒成立矛盾.③當(dāng)0<a<1時,推出h(x)>0,與h(x)≤0恒成立矛盾.推出a的取值為1.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

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