Question

7．已知a≥1，函數(shù)f（x）=$\frac{4{x}^{2}+8x+13}{x+1}$（x∈[0，1]），g（x）=x³-3a²x-2a+16（x∈[0，1]）．
（1）求f（x）與g（x）的值域；
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過求導(dǎo)便可判斷f′（x）在$[0，\frac{1}{2}）$上滿足f′（x）＜0，在$（\frac{1}{2}，1]$上f′（x）＞0，從而可得到f（x）在[0，1]上的最小值為$f（\frac{1}{2}）=12$，最大值為f（0）=13，從而得出f（x）的值域?yàn)閇12，13]，同理可根據(jù)g′（x）在[0，1]上的符號判斷出g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，從而求出g（x）的值域?yàn)閇-3a²-2a+17，16-2a]；
（2）根據(jù)題意便可得到[12，13]⊆[-3a²-2a+17，16-2a]，從而有$\left\{\begin{array}{l}{-3{a}^{2}-2a+17≤12}\\{16-2a≥13}\end{array}\right.$，這樣解該不等式組便可得出a的取值范圍．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{（2x-1）（2x+5）}{（x+1）^{2}}$；
∵x∈[0，1]，∴2x+5＞0，x$∈[0，\frac{1}{2}）$時(shí)，f′（x）＜0，x$∈（\frac{1}{2}，1]$時(shí)，f′（x）＞0；
∴$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取最小值12，且$f（0）=13，f（1）=\frac{25}{2}$；
∴f（x）的值域?yàn)閇12，13]；
g′（x）=3（x-a）（x+a）；
∵x∈[0，1]，且a≥1；
∴x+a＞0，x-a≤0；
∴g′（x）≤0；
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
且g（0）=16-2a，g（1）=-3a²-2a+17；
∴g（x）的值域?yàn)閇-3a²-2a+17，16-2a]；
（2）根據(jù)題意知，f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集；
即[12，13]⊆[-3a²-2a+17，16-2a]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3{a}^{2}-2a+17≤12}\\{16-2a≥13}\end{array}\right.$；
解得$a≤-\frac{5}{3}$，或$1≤a≤\frac{3}{2}$；
∴a的取值范圍為$\{a|a≤-\frac{5}{3}，或1≤a≤\frac{3}{2}\}$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念及求法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，子集的概念，以及一元二次不等式的解法．