Question

14．等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₅=a₄+2a₃，若存在兩項a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 由a₅=a₄+2a₃ 求得q=2，代入$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₅=a₄+2a₃，
可得a₃q²=a₃q+2a₃，
∴q²-q-2=0，∴q=2．
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=a₁，
∴a_m•a_n=a₁²
∴a_m•a_n=${{a}_{1}}^{2}$•2^m+n-2=16${{a}_{1}}^{2}$，
∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6，即$\frac{1}{6}$（m+n）=1，（m∈N^*，n∈N^*），
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）×$\frac{1}{6}$（m+n）=$\frac{1}{6}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{4m}{n}}$）=$\frac{1}{6}$×9=$\frac{3}{2}$（當且僅當$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$，即n=2m時取，即m=2，n=4時取等號）
故選：A

點評 本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，基本不等式的應用，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比是解決本題的關鍵．屬于中檔題．