Question

2．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x-{sin^2}x$
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，利用周期公式可求最小正周期，令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，可得單調(diào)增區(qū)間．
（2）由$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，可得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)從而可求函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$--------------（4分）
∴f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$，--------------（6分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
可得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，（k∈Z）$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]，（k∈Z）$；------------（8分）
（2）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，2]------------（14分）

點評 本題主要考查了周期公式，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．