Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0，
（1）若f（x）為[0，+∞）上的減函數(shù)，求a，b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系；
（2）解不等式ln(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

≤ln2-1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由條件知f'（x）≤0對(duì)x≥0恒成立，對(duì)a，b分析即可；
（2）可令a=b=1，得到f（x）=ln（x+1）-x，運(yùn)用單調(diào)性，將原不等式轉(zhuǎn)化為f(

x- 1 x

)≤f(1)，即

x- 1 x

≥1，解出即可．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

ax+b

-1=

a-b-ax

ax+b

（a＞0，b＞0），
∵f（x）為[0，+∞）上的減函數(shù)
∴f'（x）≤0對(duì)x≥0恒成立，
∴a-b≤0即a≤b；
（2）在（1）中取a=b=1，即f（x）=ln（x+1）-x，
由（1）知f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴ln(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

≤ln2-1
即f(

x- 1 x

)≤f(1)，
∴

x- 1 x

≥1，解得

1- 5

2

≤x＜0，或x≥

1+ 5

2

故所求不等式的解集為  [

1- 5

2

，0)∪[

1+ 5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．