Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=ln

x2+1

|x|

（x∈R，x≠0），有下列命題：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
②在區(qū)間（-∞，0）上，f（x）是減函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）的最小值是ln2；    
④在區(qū)間（-∞，0）上，f（x）是增函數(shù)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（-x）=f（x），得出f（x）是定義域上的偶函數(shù)，判定①是否正確；
由x＞0時(shí)，

x2+1

|x|

=x+

1

x

≥2，得出f（x）≥ln2，判定③是否正確；
由x∈（0，1）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出f（x）在x∈（-∞，-1）上減，在x∈（-1，0）上增，判定②④是否正確．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ln

x2+1

|x|

（x∈R，x≠0），
∴f（-x）=ln

(-x)2+1

|-x|

=ln

x2+1

|x|

=f（x）；
∴f（x）是定義域上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴①正確；
又∵x＞0時(shí)，

x2+1

|x|

=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立；
∴f（x）=ln

x2+1

|x|

≥ln2；
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，得
f（x）在x∈（-∞，-1）時(shí)是減函數(shù)，在x∈（-1，0）時(shí)是增函數(shù)；
∴f（x）的最小值是ln2；
∴③正確，②④錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是①③． 
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析與研究，以便得出正確的結(jié)論，是綜合題．