Question

一條直線被橢圓x²+2y²=4所截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1），則此直線方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），A（1，1）為EF中點(diǎn)，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，利用點(diǎn)差法能夠求出以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程．

解答： 解：設(shè)以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∵A（1，1）為EF中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）分別代入橢圓x²+2y²=4，
得x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=-

1

2

，
∴以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為：y-1=-

1

2

（x-1），
整理，得x+2y-3=0．
故答案為：x+2y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查以A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．