Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為Q（$\frac{π}{6}$，2）
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)得出A的值，由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離求出周期與ω的值，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出φ的值即可；
（2）根據(jù)x的取值范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，計(jì)算f（x）的最小值以及對(duì)應(yīng)的x值．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象的最高點(diǎn)為Q（$\frac{π}{6}$，2）得A=2；
由x軸上相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{2}$，
得$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，
ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2；
由點(diǎn)Q（$\frac{π}{6}$，2）在圖象上得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
故$\frac{π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{6}$，
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）∵x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$即x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值-1．
故f（x）的最小值-1，此時(shí)x=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了求三角函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．