【題目】已知函數(shù)
(1)若 ,求函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間;
(2)若x=﹣1是函數(shù)y=f(x)的一個極值點,試判斷此時函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù),并說明理由.

【答案】
(1)解:f'(x)=x2﹣2bx+2.

時,f'(x)=x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2),

令f'(x)>0解得x<1或x>2.

所以, 時函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(﹣∞,1),(2,+∞).

令f'(x)<0解得1<x<2.

所以, 時函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(1,2)


(2)解:因為x=﹣1是函數(shù)y=f(x)的一個極值點,

則f'(﹣1)=0,故:1+2b+2=0解得: ,

此時f'(x)=x2﹣2bx+2=x2+3x+2,

令f'(x)=0解得:x=﹣2或x=﹣1.

則x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下.

x

(﹣∞,﹣2)

﹣2

(﹣2,﹣1)

﹣1

(﹣1,+∞)

f'(x)

+

0

0

+

f(x)

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

故此時x=﹣1時,f(x)有極小值 ;

x=﹣2時,f(x)有極大值 ;

則當x>﹣2時,f(x)≥f(﹣1)>0,顯然函數(shù)在(﹣2,+∞)上無零點.

,(也可取x=﹣4等),則f(﹣3)f(﹣2)<0,

結合函數(shù)在(﹣∞,﹣2)上單調遞增,故由零點存在定理知,函數(shù)在(﹣∞,﹣2)上必有唯一零點.

綜上:若x=﹣1是函數(shù)y=f(x)的一個極值點,則此時函數(shù)y=f(x)在R上有唯一零點


【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(2)根據(jù)x=﹣1是函數(shù)y=f(x)的一個極值點,求出b的值,求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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推銷員編號

1

2

3

4

5

工作年限x年

3

5

6

7

9

年推銷金額y萬元

2

3

3

4

5


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